Ребай и эддон. Делать — не делать?

Эти меры привели к резкому ухудшению игры, а, как следствие, многие молодые игроки, о существовании которых мы только догадывались, оказались втянутыми в покерную жизнь наших клубов.

На сегодняшний день существует множество турнирных стратегий, обладающих разной степенью успешности и применимости, так что большинство игроков на свой собственный страх и риск проверяют их на практике. Но кроме этого, существует группа основополагающих вопросов турнирного покера, которая практически не зависит от личных стратегий и предпочтений, но целиком относится к области элементарной математики. Наиболее часто встречающийся из этих вопросов – целесообразность ребаев и эддонов. Я обратил внимание, что, несмотря на кажущуюся простоту, вопрос этот вызывает серьезные сложности и неизменно приводит к корпоративным дебатам во время турнирных перерывов. Хочется поделиться с читателями моими соображениями на эту тему.

Миф первый: Ребаи всегда не выгодны.

Если спросить игрока, почему это так, то он, как правило, приведет соображения того рода, что, делая ребай, он увеличивает призовой фонд, из которого, в лучшем случае, ему вернется только какая-то часть. Простая математическая проверка показывает, что это не так.

Пусть вы играете турнир с бай-ином, ребаями и двойным эддоном, равными $100. Вы проиграли свой стек и собираетесь делать ребай. Посмотрим в сравнении, сколько денег вы потратили на бай-ин и ребай, и что вы за эти деньги получили.

Плата Фишки Средний стек
Бай-ин $100 $1000 1000*N/N = 1000

Я утверждаю, что пока из турнира не вылетел ни один участник, ваше матожидание (МО) от любой закупки, бай-ина или ребая, можно приблизительно оценить по следующей формуле:

МО = Pp * (St /St av)*(1/N),

где Pp – призовой фонд турнира;
St – размер вашего стека;
St av – размер среднего стека турнира после вашей закупки;
N – количество участников турнира.

Теперь посчитаем соответственно матожидание бай-ина и ребая.

MO бай-ина = Pp * (St /St av)*(1/N) = 100*N*(1000/1000)*(1/N) = 100.

МО ребая = Pp * (St /St av)*(1/N)= 100 (N+1)*(1000N/1000(N+1))*(1/N) = 100.

Вывод: Математическое ожидание обоих действий одинаково, то есть ребай не является отрицательным действием сравнительно с бай-ином. В чем заключается математическое отличие ребая от бай-ина? В дисперсии. Математическое ожидание одинаково, но, делая ребай, вы в итоге будете выигрывать больший приз, но меньшее количество раз, так что ожидание ваше будет в точности равняться ожиданию бай-ина.

В пределе, пусть в турнире вы не делали ребаев вообще, а оппоненты их сделали бесконечно количество. В этой ситуации вы будете выигрывать бесконечно большой приз бесконечно малое число раз.

Миф второй: Эддоны всегда выгодны.

Если спросить игрока, почему это так, то он, как правило, приведет соображения того рода, что, покупая в два раза больше фишек за те же деньги, он удешевляет свое участие в турнире, так как теперь цена каждой закупленной им фишки стала дешевле на треть (речь идет о двойном эддоне, именно они и распространены в наших покерных клубах).

Эти соображения математически безупречны. Видно, что мы получаем прямую выгоду от эддона, если кто-нибудь из участников его не делает. В пределе, идеальная ситуация – эддон сделали только мы, а все остальные участники продолжают турнир более дорогими фишками. На практике этого не случается. Подавляющее большинство игроков делает эддон, так что мы делаем эддон вынужденно, не для того, чтобы получить преимущество, а чтобы не дать другим оппонентам преимущества перед нами. В конечном счете, это действие опять-таки приводит к простому увеличению дисперсии. Снова мы будем выигрывать больший приз, но меньшее количество раз, имея 100-долларовое матожидание.

Существуют ли ситуации, когда делать эддон не выгодно?

С моей точки зрения, существуют, но они связаны не с математикой, а со стратегическими соображениями. Это не должно вас удивлять. Думаю, любой мало-мальски искушенный игрок знает экзотические ситуации, когда до флопа правильно выбросить двух тузов. Математически это действие порочно, но сильная нелинейность призовых выплат приводит к нелинейной ситуации, в которой формальные арифметические соображения искажаются.

Перейдем к рассмотрению ситуаций, где эддон представляется мне невыгодным. Возьмем пример из жизни. Вам необходимо купить зимние ботинки, а в ближайшем торговом центре как раз началась новогодняя распродажа, где обувь можно приобрести с очень хорошей скидкой. Вы приходите туда, но оказывается, что ботинок вашего размера нет в наличии. Зато имеются ботинки на два размера меньше вашего, чудесные, удобные, красивые и недорогие ботинки. Вопрос: Будете ли вы их покупать? В том то и дело, что нет, хотя математически это очень выгодно – цена отличная. Ведь вы пришли купить вещь, вам необходимую, а не дешевую. Стратегические соображения перевесили математические, и вы уходите без покупки.

Ответим на вопрос: что мы покупаем за эддон?

Ответ следующий: мы покупаем дополнительную возможность пойти в олл-ин с обладателем среднего стека, проиграть и продолжить борьбу.

Например, ваш стек перед эддоном равен $5 000, эддон вам даст дополнительно $2 000, а средний стек участников после эддона приблизительно будет равен $3 500. Очевидно, что эддон дает вам одну дополнительную возможность для олл-ина. Сделав эддон и проиграв первый олл-ин среднему стеку, вы останетесь с $7 000 -$3 500 = $3 500, то есть как раз с еще одной последней возможностью для олл-ина. Если же вы не сделали эддон, то после проигрыша у вас остается $5 000 — $3 500 = $1 500, а это меньше половины среднего стека. Во-первых, ваши шансы на продолжение борьбы уменьшились катастрофически. Во-вторых, это продолжение будет связано с использованием гиперагрессивной стратегии, которая отрицательна сама по себе. Образно говоря, вы, как раненый кабан, будете снова и снова бросаться в атаку со своим коротким стеком, давая оппонентам отличную возможность добить вас. В описанной ситуации эддон выгоден как математически, так и стратегически, так что мы его обязательно делаем.

Пусть теперь при тех же условиях ваш стек перед эддоном равен $6 500. Посмотрите сами, эддон не дает вам дополнительной возможности олл-ина. Дважды проиграв олл-ин среднему стеку, вы даже в случае эддона останетесь с чуть меньше $1 500, то есть вернетесь к ситуации раненого кабана. В таком случае я могу предпочесть не делать эддона вообще. Эддон математически выгоден, но стратегически не интересен, так что мы можем и отказаться от него. Можете считать, что, не сделав эддон, вы выиграли маленький турнир с призом $100 и теперь продолжаете участие в крупном, почти не потеряв в своих шансах на удвоение.

Существуют две важные ситуации, когда я буду делать эддон, не зависимо от стратегических соображений. Ситуация первая: за первое место казино добавляет дополнительный бонус. Здесь все мои усилия направлены на завоевание именно первого места. Все другие соображения становятся несущественными, я обязательно сделаю эддон, чтобы повысить шансы на победу в турнире. Ситуация вторая: за моим столом присутствует маньяк с очень длинным стеком. Здесь я начинаю понимать, насколько велика вероятность того, что в олл-ин я пойду после эддона не с каким-то случайным игроком, а именно с этим маньяком. Олл-ины с маньяком очень выгодны. Выгодны настолько, что я предпочту иметь более крупный стек, так как расцениваю свои шансы на удвоение очень высоко, гораздо выше, чем 50/50.

Заключение: Играя в турнире, делайте в свое удовольствие и ребаи, и эддоны. Они, как минимум, не отрицательные. Но даже в ясных математических ситуациях может найтись место для экзотических исключений, связанных со стратегическими соображениями. Всегда имейте это в виду и, по возможности, избегайте формальных решений.
Будьте хладнокровны. Не теряйте бдительности. Играйте в покер!