Теорема сложения вероятностей
Суммой A+B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A, или события B, или обоих этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A+B)=P (A)+P (B)
Доказательство. Введем обозначения: n-общее число возможных элементарных исходов испытания; m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2-число исходов, благоприятствующих событию B. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию A, либо событию В, равно m1+m2. Следовательно,
P (A+B)=(m1+m2)/n = m1/n+m2/n.
Приняв во внимание, что m1/n=P (A) и m2/n=P (B), окончательно получим P (A+B)=P (A)+P (B)
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A1+A2+…+An) = P (A1)+P (A2)+…P (An)
Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий A и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Рассмотрим два события: A и B; пусть вероятности P (A) и Pa (B) известны. Как найти вероятность того, что появится событие A и событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
P (AB) = P (A)Pa (B).
Доказательство. по определению условной вероятности,
Pa (B) = P (AB)/P (A).
Отсюда
P (AB) = P (A)Pa (B).
Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
1)Какова вероятность того, что нам придут два туза?
Нам необходимо, чтобы произошли сразу два события – туз пришёл первой картой и туз пришёл второй картой. Подсчитаем вероятность каждого из этих событий.
Обозначим через A событие — нам раздали первой картой туза. Мы могли получить первой любую из 52 карт, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 52. Эти исходы несовместимы, равно возможны и образуют полную группу. Благоприятствую событию A лишь 4 исхода. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P (A)=4/52 =1/13.
Вероятность второго туза обозначим через B событие.После того как вышел туз, в колоде осталась 51 карта, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 51 из них 3 туза, поэтому благоприятствую событию B лишь 3 элементарных исхода:
Р (АB) = 1/13×1/17 = 1 /221.
Два туза придут в среднем один раз за 221 раздачу.
2)У нас карманные AA, оппонент идёт all-in, мы отвечаем. Оппонент показывает KK.
flop: 5 K T
Какова вероятность того, что мы выиграем сдачу?
Мы выиграем в нескольких случаях. 1) На тёрне откроют туза, на ривере не откроют короля.
2)На тёрне не откроют не туза не короля, на ривере откроют туза.
3)На тёрне и ривере откроют JQ, в любом порядке.
Обозначим через A событие — На тёрне не откроют не туза не короля. Нам известно 7 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 45, 2 карты из них тузы и 1 карта король, поэтому благоприятствуют событию А 42 элементарных исхода. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P (A)=42/45.
Обозначим через B событие —На ривере откроют туза. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, 2 карты из них тузы, поэтому благоприятствуют событию B лишь 2 элементарных исхода:
Pa (B)=2/44.
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
P (C)=2/45.
Обозначим через D событие — На ривере не откроют короля. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, 1 карта из них король, поэтому благоприятствуют событию D 43 элементарных исхода:
Pc (D)=1/44.
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
Р (CD) = 2/45×43/44 = 4,34% -вероятность, что на тёрне откроют туза, на ривере не откроют короля.
Обозначим через E событие — На тёрне открыли Q или J. Нам известно 7 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 45, 4 карт из них J, и 4 Q, поэтому благоприятствуют событию E 8 элементарных исхода:
P (E)=8/45.
Обозначим через F Событие — Приешдшая карта на ривери дала нам комбинацию стрит. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, благоприятствуют событию F лишь 4 элементарных исхода:
Pe (F)=4/44
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
Р (EF) = 8/45×4/44 = 1,66% — вероятность, что на тёрне и ривере откроют JQ, в любом порядке.
События AB, CD и EF не совместимы, поэтому теорема сложения применима.
P (AB+CD+EF)= 4,24%+4,34%+1,66% =10,20%
Суммой A+B двух событий A и B называют событие, состоящее в появлении события A, или события B, или обоих этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A+B)=P (A)+P (B)
Доказательство. Введем обозначения: n-общее число возможных элементарных исходов испытания; m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2-число исходов, благоприятствующих событию B. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо событию A, либо событию В, равно m1+m2. Следовательно,
P (A+B)=(m1+m2)/n = m1/n+m2/n.
Приняв во внимание, что m1/n=P (A) и m2/n=P (B), окончательно получим P (A+B)=P (A)+P (B)
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
P (A1+A2+…+An) = P (A1)+P (A2)+…P (An)
Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий A и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Рассмотрим два события: A и B; пусть вероятности P (A) и Pa (B) известны. Как найти вероятность того, что появится событие A и событие B? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
P (AB) = P (A)Pa (B).
Доказательство. по определению условной вероятности,
Pa (B) = P (AB)/P (A).
Отсюда
P (AB) = P (A)Pa (B).
Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
1)Какова вероятность того, что нам придут два туза?
Нам необходимо, чтобы произошли сразу два события – туз пришёл первой картой и туз пришёл второй картой. Подсчитаем вероятность каждого из этих событий.
Обозначим через A событие — нам раздали первой картой туза. Мы могли получить первой любую из 52 карт, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 52. Эти исходы несовместимы, равно возможны и образуют полную группу. Благоприятствую событию A лишь 4 исхода. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P (A)=4/52 =1/13.
Вероятность второго туза обозначим через B событие.После того как вышел туз, в колоде осталась 51 карта, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 51 из них 3 туза, поэтому благоприятствую событию B лишь 3 элементарных исхода:
P (B) = 3/51 = 1/17.
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:Р (АB) = 1/13×1/17 = 1 /221.
Два туза придут в среднем один раз за 221 раздачу.
2)У нас карманные AA, оппонент идёт all-in, мы отвечаем. Оппонент показывает KK.
flop: 5 K T
Какова вероятность того, что мы выиграем сдачу?
Мы выиграем в нескольких случаях. 1) На тёрне откроют туза, на ривере не откроют короля.
2)На тёрне не откроют не туза не короля, на ривере откроют туза.
3)На тёрне и ривере откроют JQ, в любом порядке.
Обозначим через A событие — На тёрне не откроют не туза не короля. Нам известно 7 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 45, 2 карты из них тузы и 1 карта король, поэтому благоприятствуют событию А 42 элементарных исхода. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P (A)=42/45.
Обозначим через B событие —На ривере откроют туза. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, 2 карты из них тузы, поэтому благоприятствуют событию B лишь 2 элементарных исхода:
Pa (B)=2/44.
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
Р (АB) = 42/45×2/44 = 4,24% — вероятность, что на тёрне не откроют не туза не короля, на ривере откроют туза.
Обозначим через С событие — На тёрне откроют туза. Нам известно 7 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 45, 2 карты из них тузы, поэтому благоприятствуют событию C лишь 2 элементарных исхода:P (C)=2/45.
Обозначим через D событие — На ривере не откроют короля. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, 1 карта из них король, поэтому благоприятствуют событию D 43 элементарных исхода:
Pc (D)=1/44.
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
Р (CD) = 2/45×43/44 = 4,34% -вероятность, что на тёрне откроют туза, на ривере не откроют короля.
Обозначим через E событие — На тёрне открыли Q или J. Нам известно 7 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 45, 4 карт из них J, и 4 Q, поэтому благоприятствуют событию E 8 элементарных исхода:
P (E)=8/45.
Обозначим через F Событие — Приешдшая карта на ривери дала нам комбинацию стрит. Нам известно 8 карт из 52, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 44, благоприятствуют событию F лишь 4 элементарных исхода:
Pe (F)=4/44
Поскольку нам необходимо, чтобы случились оба эти события, то перемножаем вероятности:
Р (EF) = 8/45×4/44 = 1,66% — вероятность, что на тёрне и ривере откроют JQ, в любом порядке.
События AB, CD и EF не совместимы, поэтому теорема сложения применима.
P (AB+CD+EF)= 4,24%+4,34%+1,66% =10,20%
в 1 из 10 раз мы будем выигрывать в этой сдаче.
Выше написанные подсчеты определения вероятностей, полезны ознакомительно, но не могут повлиять на Ваши решения в раздаче. Завтра я пополню пост примерами непосредственного вычисления вероятностей в раздачах, в которых с помощью определения вероятностей на победу по отношению к шансам к банку, можно определить решение с положительным математическим ожиданием от решения с отрицательным.