Продвинутая стратегия. Колл ставки размером в банк

Скажем лишь, что представленное ниже чтиво не для слабонервных. Профессионал из команды PokerStars и регуляр игр по самым высоким ставкам Айзек Хэкстон поделится математическими выкладками по оптимальной стратегии.

Если вы время от времени читаете статьи по стратегии покера или смотрите обучающие видео, то наверняка знакомы со следующим постулатом: «Чтобы соперник не мог подстроиться, необходимо коллировать ставки размером в банк ровно в половине случаев». В сегодняшнем материале я попробую донести, откуда у этого изречения растут ноги, а также как и когда именно можно применять это в игре.

Как и все базовые правила в покере, это применимо в чистом виде к упрощенной игре «в вакууме», похожей на покер, на примере которой можно анализировать ситуацию и вырабатывать реальную игровую стратегию для боевых условий. Упрощенная игра, о которой мы ведем речь, работает по следующей схеме: У Игрока 1 с равной вероятностью либо натс, либо воздух, тогда как у Игрока 2 всегда блефкетчер — рука, с которой он бьет воздух оппонента, но проигрывает натсам. В банке $1, и Игрок 1 может либо сделать ставку размером $1, либо сказать чек и выйти на вскрытие.

Самым важным понятием в этой упрощенной игре является равновесие Нэша, под которым подразумевается наличие стратегической пары (или пар), при которой оба игрока могут выбрать стратегию и в точности ей следовать, при этом соперник не имеет возможности улучшить свою стратегию таким образом, чтобы в стратегии оппонента появились изъяны. Для того, чтобы найти это равновесное состояние, начнем с оценки вэлью для каждого варианта игрока.

Игрок 1

EV (чека с воздухом) = $0

EV (чека с натсом) = $1

EV (ставки с воздухом) = $1*(частота фолда Игрока 2) — $1*(частота колла Игрока 2)

EV (ставки с натсом) = $1*(частота фолда Игрока 2) + $2(частота колла Игрока 2)

А поскольку (частота фолда Игрока 2) = 1-(частота колла Игрока 2), можно упростить верхнее уравнение следующим образом:

EV (ставки с воздухом) = $1 — $2*(частота колла Игрока 2)

EV (ставки с натсом) = $1+$1*(частота колла Игрока 2)

Игрок 2

EV (фолда) = $0

EV (колла) = ($2*(частота ставки Игрока 1 с воздухом) — $1*(частота ставки Игрока 1 с натсом))/(частота ставки Игрока 1 с воздухом + частота ставки Игрока 1 с натсом)

Обратите внимание, что вэлью чека и фолда — величины фиксированные, а вэлью ставки и колла зависят от действий оппонента. Также заметьте, что EV (ставки с натсом) >= EV (чека с натсом) для любой положительной частоты колла, и мы знаем, что (частота ставки Игрока 1 с натсом) = 1.

Ставка с воздухом лучше, чем чек, если Игрок 2 будет коллировать менее чем в половине случаев. Таким, образом, если Игрок 1 знает, что Игрок 2 будет коллировать менее чем в половине случаев, ему следует блефовать в 100% случаев. При этом если Игрок 2 знает, что Игрок1 будет блефовать в 100% случаев, EV его колла составит $0,50, поэтому Игроку 2 нужно всегда коллировать. Но если Игрок 2 всегда будет коллировать, блеф Игрока 1 станет убыточным. В этом случае Игрок 1 перестает блефовать, Игрок 2 перестает коллировать, затем Игрок 1 вновь начинает блефовать, Игрок 2 начинает коллировать, и так до бесконечности.

Решение этого замкнутого цикла состоит в том, что Игроку 1 следует блефовать лишь в определенном проценте случаев, а Игроку 2 нужно коллировать с определенным вероятностным распределением. Если более конкретно, каждый игрок должен выбрать такую вероятность, чтобы его оппоненту было безразлично, какой вариант выбирать в ответ. Иными словами, чтобы определить необходимую частоту блефа Игрока 1, нужно уравнять EV (колла) и EV (фолда) для Игрока 2.

($2*(частота ставки Игрока 1 с воздухом) — $1*(частота ставки Игрока 1 с натсом))/(частота ставки Игрока 1 с воздухом + частота ставки Игрока 1 с натсом) = 0

Заменяем: (частота ставки Игрока 1 с натсом) = 1

($2*(частота ставки Игрока 1 с воздухом) — $1))/(частота ставки Игрока 1 с воздухом + 1) = 0

И решаем уравнение:

(частота ставки Игрока 1 с воздухом) = ½

Чтобы определить частоту колла Игрока 2, приравниваем EV (ставки Игрока 1 с воздухом) = EV (чека Игрока 1 с воздухом):

$1 — $2(частота колла Игрока 2) = $0

И решаем для (частота колла Игрока 2) = ½

Таким образом, упомянутое выше правило корректируется следующим образом: «Необходимо коллировать ставки размером в банк ровно в половине случаев, чтобы оппоненту было безразлично — блефовать или нет». Однако на примере выше мы продемонстрировали, что в действительности решение намного уже — оно годится только в случае, если выгода от каждого хода ровно такая, как указано выше. Чтобы проиллюстрировать применение этого правила, я приведу один пример, где его использовать следует, и еще один — где не следует.

Рассмотрим традиционный сценарий для безлимитного холдема: игрок делает рейз с баттона, соперник ставит 3-бет с большого блайнда, колл. На радужном флопе A22 Игрок на большом блайнде ставит контбет, баттон коллирует. На терне 6 не в масть. Снова бет/колл. На ривере пришла 7, и в стеке атакующего игрока остается столько же денег, сколько и в банке.

Вероятно, агрессор поставит для вэлью с рукой AQ или лучше и будет блефовать с рукой вроде одномастных 98. Игрок на баттоне, в свою очередь, заколлирует ставку соперника с рукой вроде AT. Выглядит ли это подобно упрощенной игре, которую мы рассматривали ранее? Кандидаты агрессора на блеф — это пустые руки, у которых нет вэлью на вскрытии. В то же время к его вэльюбетам относятся не только чистые натсы. Например, у коллера могут оказаться руки вроде A7 одномастных, с которыми он бьет некоторые руки из вэлью-диапазона соперника. Но в целом это не изменит общей картины (можете проверить сами, если решите уравнения с допуском, что коллер бьет 5% рук агрессора из вэлью-диапазона). Таким образом, эту ситуацию можно охарактеризовать как упрощенный сценарий для колла ставки размером в банк. Оптимальным вариантом для игрока на баттоне здесь будет колл с вероятностью 50%.

Теперь рассмотрим другой сценарий. Игрок открывается рейзом с UTG в игре 6-макс. Соперник на баттоне коллирует. На флопе  агрессор ставит контбет, соперник коллирует. Терн — . Снова бет/колл. Ривер — . На этот раз игрок на UTG говорит чек, а его соперник рассматривает вариант ставки $1 в банк того же размера. Походит ли этот сценарий на упрощенную игру «натс/воздух»? Для простоты скажем, что игрок на баттоне не рассматривает ставку с руками вроде AK в качестве вэльюбета, а с руками вроде K9 или сетом рейзил бы еще до ривера. Таким образом, ограничим вэлью-диапазон игрока на баттоне флэшем. Более того, предположим. что игрок на UTG не сделал бы чек с флэшем, следовательно, вэлью-диапазон баттона состоит исключительно из натсов. На практике с вэлью-диапазоном игрока на баттоне могут происходить и другие метаморфозы, но основное отличие этого сценария от упрощенной игры «натс/воздух» состоит в диапазоне блефа игрока на баттоне.

С какой худшей рукой игрок на баттоне мог добраться до ривера? В зависимости от игрока, это может быть диапазон от 98 до KJ. Но у него почти наверняка есть совпадение. С другой стороны, игрок на UTG вполне мог блефовать на флопе и терне с гатшотами вроде QJ/QT/JT или даже с рукой вроде . Худшие руки в диапазоне игрока на баттоне, которые он мог бы использовать в качестве блефа, часто окажутся впереди, если он сделает чек-бихайнд. Допустим, с этими руками он будет впереди в 30% случаев.

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

EV (чека с «воздухом») = $0,30

Это очень важно! Теперь если мы уравняем EV (ставки с «воздухом») = EV (чека с «воздухом») и решим это уравнение для частоты фолда защищающейся стороны, мы получим:

:

$1 — $2(частота колла Игрока 2) = $0,30

(частота колла Игрока 2) = 0,35

Таким образом, игроку на UTG достаточно коллировать ставку соперника в 35% случаев, чтобы его сопернику было безразлично — блефовать или чекать с нижней частью своего диапазона. Если игрок на UTG будет коллировать в половине случаев, его игра станет уязвима! В ответ игрок на баттоне просто перестанет блефовать и начнет наживать больше денег на вэльюбетах, чем «положено».

Итак, в следующий раз, когда будете коллировать ставку соперника размером в банк с верхней половиной своего диапазона, полагаясь на приведенное выше правило, для начала убедитесь, что ситуация для этого подходит.